Suku ke-n Barisan Fibonacci

ditulis oleh ahmad syahroni

Sumber:Langkah Awal Menuju Olimpiade Matematika,Elementary Number Theory by Kenneth H Rosen,http://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_number

Barisan Fibonacci merupakan barisan kombinasi linear .
Namun, kita juga dapat mendekati barisan ini secara geometrik.

Asumsikan bahwa: dimana a merupakan konstanta awal yang bukan nol. Dengan demikian:

Dengan membagi kedua ruas dengan , kita dapatkan:

Bentuk di atas merupakan bentuk persamaan kuadrat. Oleh karena itu, kita gunakan rumus untuk menyelesaikan persamaan tersebut. Maka, kita dapatkan: dan . Untuk mempermudah penulisan, kita tahu bahwa hasil dari merupakan golden number, maka kita simbolkan dengan . Hasil dari juga ternyata adalah .

Kita mendapatkan 2 buah r dalam barisan ini. Artinya, barisan fibonacci merupakan barisan geometri kombinasi menggunakan 2 buah rasio tersebut. Ingat kembali asumsi awal bahwa . Karena, kita memiliki 2 buah rasio r, maka kita definisikan kembali

dimana dan adalah konstanta bukan nol.

Kombinasi linear tersebut dapat dibuktikan kebenarannya, seperti yang ditunjukkan di kotak warna biru di bawah.

Bukti bahwa barisan Fibonacci dapat didefinisikan sebagai .

Kita buktikan secara induksi matematika. Anggap bahwa adalah BENAR.

Kita tahu bahwa: , maka:

Namun, kita tahu dari persamaan karakteristik sebelumnya bahwa dengan membaginya dengan , kita dapatkan . Begitu pula dengan , kita dapatkan .

Karena persamaan sesuai dengan definisi awal, maka TERBUKTI secara induksi matematik.

... (a)
... (b)
Dengan menyelesaikan persamaan (a) dan (b), maka kita dapatkan dan .

Maka, kita sudah mendapatkan semua komponen formula Fibonacci.

Dengan demikian, formula (rumus) Binet terbukti.
Dapat disingkat menjadi:

dimana = .